平均绝对误差（MAE）

平均绝对误差（Mean Absolute Error, MAE）是衡量模型预测误差的一种方法，通常用于回归分析。它表示的是预测值与真实值之间差的绝对值的平均数。计算公式如下：
$MAE=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N|y_i-\hat{y}|$,
其中$y_i$表示第$i$个数据的预测值，$\hat{y}$表示第$i$个数据的真实值。

平均绝对误差的特点是：

1. 它是一个非负数，且MAE值越小，说明预测模型的效果越好。
2. MAE 使用的是绝对值，因此它不会因为异常值而受到影响，这一点比均方误差（Mean Squared Error, MSE）更有优势。
3. MAE的单位与原数据的单位相同，这使得它具有更好的解释性。

MAE通常用于评估模型在预测连续值时的性能，例如在天气预报、股票价格预测等领域。

均方误差（MSE）

均方误差（Mean Squared Error, MSE）是另一种衡量模型预测误差的方法，常用于回归分析。它是预测值与真实值之间差的平方的平均数。计算公式如下：
$MSE=\frac{1}{N}\sum _{i=1}^N(y_i-\hat{y}{)}^2$。
均方误差的特点是：

1. 它是一个非负数，且MSE值越小，说明预测模型的效果越好。
2. MSE 使用的是平方，因此它会对较大的误差给予较大的权重，这意味着大的误差会对MSE产生较大的影响。
3. MSE的单位是原数据单位的平方，这使得它在解释上不如平均绝对误差直观。
4. MSE通常用于评估模型在预测连续值时的性能，特别是在关注较大误差的情况下。与MAE相比，MSE对异常值更为敏感，因此在异常值较多的情况下，使用MSE可能会导致模型性能评估的不准确。

在实际应用中，MSE的一个优点是它在数学上更容易处理，特别是当涉及到梯度下降等优化算法时。此外，MSE是最小二乘法的基础，这是一种常用的参数估计方法。

R 平方（$R^2$）

R平方（R²或R2），也称为决定系数，是衡量回归模型拟合优度的一个统计量。它表示因变量的变异中有多少可以被自变量解释。R平方的值范围从0到1，或者以百分比形式表示从0%到100%。

R平方的计算通常基于均方误差（MSE）：
$R^2=1-\frac{MS{E}_{model}}{MS{E}_{null}}$,
其中$MS{E}_{model}$表示模型的均方误差，$MS{E}_{null}$表示以实际值的均值作为$\bar{y}$来计算的 MSE 值。

R平方的解释如下：

• 𝑅^2=0：表示模型没有任何解释能力，因变量的变异不能由自变量解释。
• 0<𝑅^{2}<1：表示模型可以解释因变量的一部分变异，R平方越接近1，模型的解释能力越强。
• 𝑅^2=1：表示模型完美地解释了因变量的所有变异。

虽然R平方是一个常用的统计量，但它也有一些局限性：

1. R平方不告诉我们在实践中模型的表现如何，它只是衡量了模型对数据的拟合程度。
2. R平方不说明因果关系，即使R平方很高，也不能断定自变量导致了因变量的变化。
3. R平方对数据中的异常值非常敏感，因为异常值会增加模型的 MSE。
4. R平方随着自变量的增加而增加，即使这些自变量对模型没有实际贡献，因此可能会产生误导。

在实际应用中，我们应该谨慎地使用R平方，并结合其他统计量和模型诊断工具来全面评估模型的性能。

可以借助sklearn库计算这些指标:

from sklearn.metrics import mean_absolute_error
from sklearn.metrics import mean_squared_error
from sklearn.metrics import r2_score

X_actual = [5, -1, 2, 10]
Y_predict = [3.5, -0.9, 2, 9.9]
print('R Squared =', r2_score(X_actual, Y_predict))
print('MAE =', mean_absolute_error(X_actual, Y_predict))
print('MSE =', mean_squared_error(X_actual, Y_predict))